Question

如图所示，平面直角戏中，圆O1与x轴相切于点A（-2,0），与y轴交于B，C两点O1B的延长线交x轴于点D，

如图所示，平面直角戏中，圆O1与x轴相切于点A（-2,0），与y轴交于B，C两点O1B的延长线交x轴于点D，且圆O1的半径为5/2.
（1）求证，∠ABO1=∠ABO；
（2）求点B坐标；
（3）过A,B两点作圆o2与正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，求BM-BN的值。

Answer 1

（1）∵圆O1与x轴相切于点A（-2,0），∴o1A⊥X轴，∴o1A∥y轴
∴∠ABO=∠O1AB
∵AO1=BO1=r
∴ ∠ABO1=∠O1AB
∴，∠ABO1=∠ABO
（2）过B作BP⊥AO1于P，∴BP∥x轴
∵o1A⊥X轴，∴o1A∥y轴
∴四边形AOBO1是矩形。
∴BP=OA=2
由勾股定理得：PO1^2=O1B^2-BP^2=2.5^2-2^2=2.25
PO1=1.5
∴BO=PA=2.5-1.5=1
∴ 点B坐标为（0，-1）
（3）请高手指点！谢谢！

Answer 2

（3）在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG

证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO1为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都为 弧AB所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
∵AM=AN∠AMG=∠ANBMG=BN，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变．