Question

为什么用不同的方法求极限、求导得出的结果会不一样？哪些函数可以直接求极限，哪些必须要先化简再求呢？

比如：求 y=sin2x的导数
看见这样的题目我就直接套公式了，y'=（sin2x）'=cos2x
但是教材上标准答案是y'=（sin2x）'=（2sinxcosx）'=2[(sinx)'cosx+sinx(cosx)']=2(cos²x-sin²x)=2cos2x

还有很多其它当limx→0时求极限的题目，最后结果算着是0，但是标准答案确是一个常数;或者有些题目想方设法化简了求出常数结果，答案却又是0或者无穷大.......

现在好迷茫啊，做题目的时候都不知道要选择什么样的方法才能得到标准答案了......

Answer 1

首先，y=sin2x是一个复合函数，需要2次求导，应该先求外面的导如y=sinu（u=2x）变为y=u'cosu,下一步求u=2x的导数，就得到了y=2cos2x，对于后面的求极限，当时我也很纠结，但是我们不能再用高中时的眼光看待这些题目，你需要搞清楚临界值和一些常见的式子，这个靠你自己了，观念问题吧，慢慢来就学好叻的，别怕。

追问

唉........那介绍点先进经验好么，对于这样的问题我们应该怎样判断用什么方法

追答

首先你的求导是求基本初等函数的导数，比如y=x，y=e^x。要是你补明白什么是基本初等函数那就去砍书。而y=e^（x^2）则是y=e^t和t=x^2复合而成的。那就需要你去识别先求哪个基本函数的导数，比如以上那个函数的导数是先导y=e^t得到y=e^t*t‘，再求t的导数，就是y=2xe^(x^2)了，先求导的那个代数式是不变的，要是你觉得难就把所有函数分成一个个基本初等函数就容易做了

追问

像求极限呢？哪些式子可以直接求，哪些式子必须调整之后才可以求呢？

追答

极限啊，也是基本初等函数可以直接求，有些函数要通过特别方法求，比如sinx/x 趋于零时是1，这个在以后的学习中有个方法可以证明这个式子的

追问

嗯，再补充一下，除了两个重要极限，还有哪些式子不能直接求的，.......麻烦你详细一点哎，这个分给你啦

追答

~~~~分对我不重要~~~~只是大家一起学习而已。
额，你现在学洛必达法则了没有？这个法则可以求出对于同是趋于零时的函数的极限的，你可以去看下，这个是它的定理：　设 　　(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；　(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； 　　(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 　　x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 　　再设 　　(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； 　　(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； 　　(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 　　x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 　　利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 　　①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 　　②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 　　③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 　　④洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a），而其他的如0*∞型, ∞-∞型，以及1^∞型，∞^0型和0^0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。 这个不难 好好看下就可以了，尝试回去计算下以前学到的那些特殊的极限吧。好比如上面说到的那个。这个暂时没碰到不能求极限的~~用好这个法则吧，但是要注意好前提条件

Answer 2

这样的，不论运用怎么样的方法求导，你都把其中的变量再求导就不会错了，不管他是x、2x、x²
本题中，变量2x得再求导(2x)'=2x′=2，套用公式y'=（sin2x）'=cos2x)·(2x)'=2cos2x。
标准答案的方法对于这个式子反而复杂，除非是现阶段教材没有介绍第一种知识。

再比如，y=（3x²）²，求导。
①套用公式，则y'=2（3x²）·（3x²）′
变量为3x²，而（3x²）′=6x，所以y'=2（3x²）·6x，即y'=36x³
②或者，运用标准答案方法，先把变量化为简单的x，即y=（3x²）²=9x^4
再求导，变量为x，x′=1，所以y′=(9x^4)′=9×4x³=36x³

所以不管用哪种方法，正确答案都一样。熟练了，做题就可以用不同的方法对结果进行检验

Answer 3

引用： y'=（sin2x）'=cos2x
方法1： 上面的函数是复合函数， y=sin(t) ,t=2x
要用复合函数求导公式
y'=[sin(t)]'=cost·t'=cos(2x)·(2x)'=2cos(2x)
方法2：利用三角函数公式
y'=（sin2x）'=（2sinxcosx）'=2[(sinx)'cosx+sinx(cosx)']=2(cos²x-sin²x)=2cos2x

很多问题还要仔细看书。把问题研究清楚

Answer 4

我跟负责的告诉你您的 y=sin2x的导数求错了，这是符合高数的求导，也就是说 sin2x中2x的导数要提一个2出来，两种方法求得结果是一样的，如果没听懂，加我172010123给你细讲。

Answer 5

引用： y'=（sin2x）'=cos2x
方法1： 上面的函数是复合函数， y=sin(t) ,t=2x
要用复合函数求导公式
y'=[sin(t)]'=cost·t'=cos(2x)·(2x)'=2cos(2x)
方法2：利用三角函数公式
y'=（sin2x）'=（2sinxcosx）'=2[(sinx)'cosx+sinx(cosx)']=2(cos²x-sin²x)=2cos2x