Question

试求y=(1/2)^(x^2-2x)的单调区间,并给出证明

Answer 1

试求y=(1/2)^(x²-2x)的单调区间,并给出证明
解：设y=(1/2)^u，u=x²-2x=(x-1)²-1；
y是关于u的减函数，即u↑时y↓；u↓时y↑；
u是关于x的二次函数，其图像是开口朝上的抛物线，顶点在(1，-1)；x<1时u是减函数；x>1时
u是增函数；故当x<1时，x↑u↓y↑，即在区间(-∞，1)内，y单调增；x>1时，x↑u↑y↓，即在区间
(1,+∞)内，y单调减。
故(-∞，1)是y的单增区间；(1,+∞)是y的单减区间。
证明：设-∞<x₁<x₂<1是区间(-∞，1)内的任意两点。
由于-∞<x₁<x₂<1，∴x²₁-2x₁>x²₂-2x₂，∴(1/2)^(x²₁-2x₁)<(1/2)^(x²₂-2x₂)，
∴y(x₂)-y(x₁)=(1/2)^(x²₂-2x₂)-(1/2)^(x²₁-2x₁)>0，即y(x₂)>y(x₁)，即y在区间(-∞，1)内
单调增。同理可证得y在区间(1，+∞)单调减。

Answer 2

y=(1/2)^(x^2-2x)=(1/2)^[(x-1)^2-1]，
所以由复合函数单调性得增区间为(-∞，1]，减区间为[1，+∞)。

Answer 3

y=(1/2)^(x^2-2x)=(1/2)^[(x-1)^2-1]，
所以增区间为(-∞，1]，减区间为[1，+∞)。