Question

1/√(1+x^4)的原函数怎么求？

Answer 1

分解因式：x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+
√2x+1)(x^2-
√2x+1)
待定系数法部分分式分解：1/(x^4+1)=(ax+b)/(x^2+
√2x+1)+(cx+d)/(x^2-
√2x+1)
去分母：1=(ax+b)(x^2-
√2x+1)+(cx+d)(x^2+
√2x+1)
1=x^3(a+c)+x^2(b+d-
√2a+
√2c)+x(a-
√2b+c+
√2d)+b+d
对比系数：b+d=1,
a+c=0,
b+d-
√2a+
√2c=0,
a-
√2b+c+
√2d=0
解得：a=
√2/
4,
c=-
√2/4,
b=d=1/2
1/(x^4+1)=
√2/4*[
(x+
√2)/(x^2+
√2x+1)+(-x+
√2)/(x^2-
√2x+1)]
这样就可以用基本积分公式来得到结果了。