Question

设a.b.c均为奇数，求证:方程ax∧2＋bx+c=0无整数根

Answer 1

若x为奇数，则ax^2,bx,c都为奇数，它们的和也为奇数，不可能为0.
若x为偶数，则ax^2,bx为偶数，c为奇数，它们的和为奇数，不可能为0
因此方程无整数根。

Answer 2

假设方程ax^2+bx+c有整数根，则x=2n，为偶数，或x=2n+1，为奇数，
若x=2n，则ax^2为偶数、bx为偶数、c为奇数，
——》ax^2+bx+c为奇数，不可能等于0，即方程不可能有偶数解，
若x=2n+1，则ax^2为奇数、bx为奇数、c为奇数，
——》ax^2+bx+c为奇数，不可能等于0，即方程也不可能有奇数解，
所以方程ax^2+bx+c无整数根。

Answer 3

反证法
假设有整数根
1,若该整数根为奇数
因为a,b,c都是奇数
那么ax^2为奇数,bx为奇数,c为奇数,那么ax^2+bx+c为奇数不可能等于零,假设不成了
2.若该整数根为偶数
那么ax^2为偶数,bx为偶数,c为奇数那么ax^2+bx+c为奇数不可能等于零,假设不成立
故可知方程没有整数根

Answer 4

1.假设方程的根X为偶数，X=2N，N为整数，a*X^2=a*4*N^2,为偶数，x*b=b*2*N，为偶数，显然原式=偶数+偶数+奇数=奇数不等于0,故假设不成立
2.假设方程的根X为奇数，X=2N+1，N为整数，a*X^2=a*（4*N^2+4*N+1）,为奇数数，x*b=b*（2*N+1），为奇数，显然原式=奇数+奇数+奇数=奇数不等于0,故假设不成立
综上，X不可能取整数

Answer 5

设方程两个根为x1、x2，
由韦达定理，x1+x2=-b/c...........①;
x1*x2=c/a...........②;
a、b、c为奇数，则-b/c、c/a必定为奇数，
如果有整数根，则由①推得x1、x2必定为一奇一偶，
则x1*x2为偶数，
则②式左右不能成立，矛盾，故无整数根。