Question

1的平方+2的平方+……+n的平方的和怎么求？

Answer 1

n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多种，这里就介绍一个我觉得很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

1.数学归纳法
当n=1时S=1
S(1)=1×(1+1)×(2×1+1)/6=(1×2×3)/6=1，所以n=1时S(n)=n(n+1)(2n+1)/6成立当n>1且n是正整数时
,假设S(n)=n(n+1)(2n+1)/6,那么就一定有
S(n+1)=(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]/6=(n+1)(n+2)(2n+3)/6成立
证:因为S(n+1)
=S(n)+(n+1)²
=[n(n+1)(2n+1)/6]+(n+1)²
=[n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²]/6
=(n+1)[(n(2n+1)+6(n+1)]/6
=(n+1)(2n²+7n+6)/6
=(n+1)(n+2)(2n+3)/6
所以S(n)=n(n+1)(2n+1)/6成立

2.立方和公式证法（n+1)³=n³+3n²+3n+1
所以
（n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
.
..
..
.
3³-2³=3×2²+3×2+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
左右相加
（n+1)³-1=3×(1²+2²+3²+...+n²)
+3×n(n+1)/2+n
化剑可得得到
S=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

3.记An=1²+2²+3²+n²1²+2²+3²+n²-[n(n+1)(2n+1)/6]
那么A(n+1)-An
=1²+2²+3²+n²+(n+1)²-[(n+1)(n+2)(2n+3)/6]-1²+2²+3²+n²+[n(n+1)(2n+1)/6]
=(n+1)²--[(n+1)(n+2)(2n+3)/6]+[n(n+1)(2n+1)/6]
=(n+1)[(n+1)-(n+2)(2n+3)/6+n(2n+1)/6]
=(n+1)[(n+1)-(n+1)]=0
因为A1=1²-1×(1+2)(2×1+1)/6=0，所以An=0
所以1²+2²+3²+...+n²-[n(n+1)(2n+1)/6]=0
所以S=1²+2²+3²+n²1²+2²+3²+n²=[n(n+1)(2n+1)/6]