Question

方程lgx+lg(4-x)=lg(a+2x)的实数解个数为

Answer 1

解的个数显然与a的取值相关。 具体分析如下：
首先考虑定义域：x>0，4-x>0，且a+2x>0。
(1) 当a<=-8时，定义域为空集，原方程无实数解。
(2) 当-8<a<=0时，定义域为a/2<x<4.
此时，原方程等价为 x(4-x)=a+2x，即x^2-2x+a=0 （#）
(#)式的判别式Delta=4-4a>0.
于是(#)有两个解，分别为：1+根号(1-a) 和 1-根号(1-a)
容易判断1+根号(1-a) 落在定义域内，而1-根号(1-a) 不在定义域内
因此，原方程有一个实数解。
(3) 当a>0时，定义域为0<x<4.
这时又有3种情况：
情形1：当0<a<1时，Delta=4-4a>0. 于是(#)有两个解，分别为： 1+根号(1-a) 和 1-根号(1-a)
且均落在定义域内，此时原方程有两个实数解；
情形2：当a=1时，Delta=4-4a=0. 于是于是(#)有一个解，即x=1，它显然在定义域内，
此时原方程有一个实数解；
情形3：当a>1时，Delta=4-4a<0。表明原方程无实数解。

综上所述，原方程实数解的个数情况如下：
(1) 当a属于(-无穷，-8]或(1，+无穷)时， 0个实数解；
(2) 当a属于(-8，0]或a=1时， 1个实数解；
(3) 当a属于(0,1)时， 2个实数解。

当然这是初级解法，如果学过导数，那么可以用函数求导判断增减性的方法来求解。这里就不讲了。

Answer 2

令 f(x)=lgx+lg(4-x)-lg(a+2x)。
由x>0，4-x>0，a+2x>0得：
a<=-8时，f(x)定义域为 Φ；
-8<a<=0时，f(x)定义域为 (-a/2，4)；
a>0时，f(x)定义域为 (0，4)。

利用导数，可判断f(x)的单调性，有以下结论：
1）a<=-8时，x取值为空集，实数解个数为0；
2）-8<a<=0时，f(x)为减函数，实数解个数为1；
3）0<a<1时，f(x)先增后减，实数解个数为2；
4）a=1时，f(x)图像与x轴相切，实数解个数为1；
5）a>1时，f(x)图像全在x轴下方，实数解个数为0.

Answer 3

解：原式等价于lgx(4-x)=lg(a+2x),
得x(4-x)=(a+2x),x(4-x)>0，a+2x>0,当a>=0,0<x<4;a<0,-a/2<x<4;
移项，合并，得x^2-2x+a=0
即(x-1)^2=1-a
当a=1时，方程有唯一解x=1
当0=<a<1时，方程有两个解x=根号（1-a）+1和x=1-根号（1-a）
当a<0时，方程有一个解x=根号（1-a）+1，x=1-根号（1-a）（无意义，因为此时x<0,不在定义域内）
当a>1,方程无解

Answer 4

题目中是对数，所以有x>0,4-x>0,a+2x>0
得x>0,x<4,x>-a/2
lgx+lg(4-x)=lgx(4-x)=lg(a+2x)
4x-x²=a+2x
x²-2x+a=0
x=2±√4-4a /2
=1± (√1-a)/2
这个需要讨论a的范围。
当a>1时，无解
当a<-3时 x=1-√1-a /2<1-√1+3 /2=0舍去 只有一个根
当a>-35时， x=1+√1-a /2>1+√1+35/2=4舍去 也只有一个根
所以当 1>a>-3时有两个根