Question

Xn＝根号2，Xn＝根号下2＋Xn-1,求极限Xn

Answer 1

利用数学归纳法可以证明：

当n∈n+时，1≤xn＜2

所以lim

xn存在，记为a，则必有：

lim

xn=lim

x(n+1),于是对递推式两端同时取极限，得：

a=√(2+a),解得a=2,(注意此时a＞0)

所以xn的极限为2

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

【补充证明：
有界性：如下，易证；
单调性：由1≤xn＜2可得
x(n+1)=√(xn+2)＞√(2xn)＞xn,可知数列为单调递增的.】
答案是2
首先，利用数学归纳法可以证明：
当n∈n+时，1≤xn＜2,
所以lim
xn存在，记为a，则必有
lim
xn=lim
x(n+1),于是对递推式两端同时取极限，得：
a=√(2+a),解得a=2,(注意此时a＞0),
所以xn的极限为2.