Question

在△ABC中，若sinA=2sinBcosC且sin²A=sin²B+sin²C,试判断△ABC的形状

Answer 1

sin²A=sin²B+sin²C
得a²=b²+c²
可知是直角三角形
sinA=2sinBcosC
这里A=π-(B+C)
sin(π-(B+C))=sin（B+C）=2sinBcosC
得sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
cosBsinC-sinBcosC=0
sin（C-B）=0
可知B=C
所以这个三角形的形状是等腰直角三角形

Answer 2

一
根据已知条件
sina=2sinbcosc，
∵
sina=sin(180-(b+c))=sin(b+c)=sinbcosc+cosbsinc
∴
根据已知，有
sinbcosc+cosbsinc=2sinbcosc；
得出
cosbsinc=sinbcosc,即
b=c,三角形为等腰三角形。
二
根据已知条件
sin²a=sin²b+sin²c，
∵
b=c,
∴
sin²a=2sin²b=2sin²c，
∴sin²a/sin²b=2,
∴sina/sinb=√2，
∴sina=√2sinb=√2sinc;
得出a=90°，b=c=45°。
三角形为等腰直角三角形。