Question

已知x>0,y>0且x+y=2,求1/x+3/y的最小值。

高2数学，要写出解答步骤。。。。

Answer 1

运用基本不等式也好解的.
x>0,y>0且x+y=2,则有
(X+Y)/2=1,
(1/x+3/y)=(1/x+3/y)*1=(1/x+3/y)*(X+Y)/2
=2+Y/2X+3X/2Y.
因为:x>0,y>0,则有
2+Y/2X+3X/2Y≥2+2√[(Y/2X)*(3X/2Y)]=2+√3.
当且仅当Y/2X=3X/2Y时,取等号成立,
此时,X=√3-1,Y=3-√3.
1/x+3/y的最小值=2+√3.

Answer 2

2(1/x+3/y)=(x+y)(1/x+3/y)
所以
(1/x+3/y)
=(x+y)(1/x+3/y)/2
=(1+3x/y+y/x+3)/2
=2+(3x/y+y/x)/2
≥2+sqrt[(3x/y)(y/x)]
=2+sqrt(3)
取等号当且仅当3x/y=y/x,联立x+y=2,求出取最小值时x,y的值
x=sqrt(3)-1,y=3-sqrt(3)
sqrt=根号

Answer 3

设：u=1/x+3/y
uxy=y+3x
y=3x/(ux-1)
所以
x+3x/(ux-1)=2
ux^2+(2-
2u
)x+2=0
判别式
△=(2-2u)^2-8u=4(u^2-
4u
+1)≥0
u≥2+√3,或，u≤-2+√3
因为：x>0,y>0,所以，u≥2+√3
1/x+3/y的最小值：2+√3

Answer 4

2(x+y)
=(5/x+3/y)(x+y)
=5+5y/x+3x/y+3
=8+(5y/x+3x/y)
显然5y/x>,3x/y>0
所以5y/x+3x/y>=2√(5y/x*3x/y)=4√2
所以2(x+y)>=8+4√2
x+y>=4+2√2
最小值是4+2√2

Answer 5

2√xy≤x+y=2,
即√xy≤1
1/x+3/y=(y+3x)/xy≥2√(3yx)/xy=2√3/√xy≥2√3
(利用不等式：a+b≥2√（a*b)）