Question

求x趋向于π/2时，(sinx)^tanx的极限

Answer 1

解：当u->0时
,(1+u)^(1/u)
->
e
当x->π/2
时,令
u
=
sinx-1,u->0
(sinx)
^
(tanx)
=
(1+
sinx-1)
^
(tanx)
=
(1+u)
^
{(1/u)
*
u
*
tanx
}
lim(x->π/2)
u
*
tanx
令
t
=
π/2
-x
=
lim(t->0)
(cost
-
1)/
tant
=
lim(t->0)
(cost
-
1)/
t
=
0
故
lim(x->π/2)
(sinx)
^
(tanx)
=
e^0
=
1
关于sin函数的知识延展：
简介：
sin函数，即正弦函数，三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
锐角正弦函数：
在直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是∠A斜边，BC是∠A的对边，AC是∠B的对边。
正弦函数就是sin(A)=a/c
sinA=∠A的对边：斜边
正弦函数
对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为y=sinx，叫做正弦函数。
性质：
①
图像：图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine
curve)
②
定义域：实数集R
③
值域：[-1——1]
（正弦函数有界性的体现）
④
最值和零点：最大值：当x=2kπ+(π/2)
，k∈Z时，y(max)=1
最小值：当x=2kπ+(3π/2)，k∈Z时，y(min)=-1
⑤
零值点：
(kπ,0)
，k∈Z
⑥
对称性：对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ，k∈Z对称
中心对称：关于点(kπ,0)，k∈Z对称
⑦
周期性：最小正周期：2π
⑧
奇偶性：奇函数
(其图象关于原点对称)
⑨
单调性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]，k∈Z上是增函数
在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]，k∈Z上是减函数