Question

求y=xlnx这一个函数的n阶导数的一般表达式

如题，写出过程方法，谢谢！

Answer 1

y'=lnx+1,
y"=1/x=x^(1-2)*(-1)^2,
以下阶数用括号内数字表示，
y(3)=-1/x^2=x^(1-3)*(-1)^3=(3-2)!*x^(1-3)*(-1)^3,
y(4)=(4-2)!*x^(1-4)*(-1)^4,
y(5)=(5-2)!*x^(1-5)*(-1)^5
......
y(n)=(n-2)!*x^(1-n)*(-1)^n,(n∈N，n>=2）.
n=1时y'=1/x+1,
n>=2时，
y(n)=(n-2)!*x^(1-n)*(-1)^n,(n∈N，n>=2）.
(定义0的阶乘为1，！为阶乘符号）。

Answer 2

∵y'=lnx+1
y''=1/x
设 f(x)=1/x
则f(x)的n阶导数为 -（-1/x)^(n+1)
∴ 当 n=1时，y'=lnx+1
当n≥2时，y的n阶导数为 -（-1/x)^(n-1)

Answer 3

告诉你思路：
先写几项，例如求一阶导、二阶导数、三阶导数，找出规律，然后总结出n阶导的公式，再用数学归纳法证明就可以了。
或者用乘法的高阶导数的莱布尼兹公式 （形式上有点像二项式定理的展开，有印象吧）