Question

无穷级数求和问题，求具体过程

Answer 1

利用比较判别，易知该级数是一致收敛的，下面计算该级数：

利用 [公式]

作换元[公式] ，我们有 :

[公式]

而

[公式]

两边取虚部，我们有 [公式]

对等式两边积分，得到 [公式]

常数c也就是 [公式] .

本题的出题陈述是证明这个等式 ，因此还可以用傅里叶展开，对等式右边进行展开验证一下即可，这样也减少了很多难度，只需要验证一下傅里叶系数。

如果出题的方式变为如下：求 [公式] 的和函数,可能就要和上面一样利用幂级数求和了

Answer 2

分享解法如下。由题目条件，可得S(x)的收敛区间、收敛域均为x∈(-1,1)。
S(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)=x[∑x^n]'。而，在其收敛区间内，∑x^n=x/(1-x)。
∴S(x)=x[x/(1-x)]'=x/(1-x)²，其中x∈(1-,1)。
供参考。

Answer 3

显然，收敛域为（-1,1】
令和函数：
s（x）=∑（n=1）(-1)^n/n*x^n，
对s（x）求导， 有
s'（x）=∑（n=1）(-1)^n*x^(n-1),
右边为等比级数，公比为-x。
则右边=-1/（1+x）。
对s'（x）积分（从0到x），得到
s（x）=-ln（x+1）
∑x^n=x/(1-x),|x|<1,①
∑(n+1)x^n =(d/dx)
∑x^(n+1) =(d/dx)x^2/(1-x)
=[2x(1-x)+x^2]/(1-x)^2
=(2x-x^2)/(1-x)^2,②
②-①，
∑nx^n=(2x-x^2-x+x^2)/(1-x^2)
=x/(1-x)^2

Answer 4

收敛域 (－1，1)，
当 －1＜x＜1 时，有
f(x)＝x∑(n:1--∞) nxⁿ-¹
＝x(∑(n:1--∞) xⁿ)'
＝x[x/(1－x)]'
＝x / (1－x)² 。