Question

已知实数x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0求y-x的最大值与最小值 别用sin算，用圆与方程知识

Answer 1

设y-x=b，显然这是一条直线方程。题目等同于求该直线与圆相交时b的最大值和最小值。根据圆与直线的关系，直线与圆相切时b取的最大值或最小值。

将y-x=b代入圆方程
x^2+(x+b)^2-4x+1=0
=>2x^2+(2b-4)x+(b^2+1)=0
该方程有一个解时
(2b-4)^2-4*2*(b^2+1)=0
=>-4b^2-16b+8=0
=>b^2+4b-2=0
=>b=-2+√6 (最大值) b=-2-√6(最小值)

Answer 2

x^2+y^2-4x+1=0
(x-2)^2+y^2=3
即 x=2+√3cosa y=√3sina
y-x
=√3(sina-cosa)-2
=√6sin(a-π/4)-2
所以 利用三角函数关系式可得
y-x最大值为√6-2
最小值为 -√6-2