Question

已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB向量平行于OA向量，MA向量乘AB向量等于MB向量乘BA向量

求M点的轨迹曲线C
P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值

Answer 1

已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB向量平行于OA向量，MA向量乘AB向量等于MB向量乘BA向量，求M点的轨迹曲线C；P为C上的动点，L为C在P点处的切线，求O点Ll距离的最小值
解：设动点M的坐标为(x，y)，已知A(0，-1)，B(x，-3)，OA=(0，-1)；则
MA= (-x，-1-y)；AB=(x，-2)；MB=(0，-3-y)；BA= (-x，2)；
∵MA•AB=MB•BA，故有等式：-x²-2(-1-y)=2(-3-y)，即有y=(1/4)x²-2，就是动点M的轨迹C的方程。故曲线C是一条顶点在(0，-2)开口朝上的抛物线。
设P的坐标为(m，(m²-8)/4)。y′=(1/2)x，y′(m)=(1/2)m，过P的切线L的方程：
y=(m/2)(x-m)+(m²-8)/4，即(m/2)x-y-m²/2+m²/4-2=(m/2)x-y-m²/4-2=0
原点(0，0）到L的距离d=︱-m²/4-2︱/√(m²/4+1)=2(m²/4+2)/√(m²+4)=(m²/2+4)/√(m²+4)
=(1/2)(m²+8)/√(m²+4)=(1/2)[√(m²+4)+4/√(m²+4)]≧2.
当且仅仅当√(m²+4)=4/√(m²+4)，即m²+4=4，m²=0，m=0时等号成立。即当P点在抛物线的顶点
(0，-2)位置时，该距离最小，最小值为2。