Question

方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解。

Answer 1

1.原方程式变形为10^(x-1)=x，我们令y₁=10^(x-1)=10^x/10，y₂=x，这样就成了两个函数的交点问题，画图得知（y₁为指数函数），（一曲一直）肯定有两个交点，一个在﹙0，1﹚之间，另一个就是x=1；且y₁、y₂都是单调递增。

2.当x∈(0.1，0.2)时，y₁∈﹙10^0.1/10，10^0.2/10﹚，y₂∈(0.1，0.2)，如果此时y₁、y₂的范围有交集，那么就肯定能取到一个x₁∈﹙0.1，0.2﹚，使得y₁=y₂，那么x₁就是原方程的另一个解。而y₁与y₂有交集，只需要10^0.2/10＞0.1即可。

3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小，0.1=1/10=10º/10，10^0.2＞10º（底数大于1的指数函数单调递增），故10^0.2/10＞10º/10，故此时y₁、y₂有交集，那么原方程另一根必在﹙0.1，0.2﹚之间。故选A。

4.当x∈(0.2，0.3)时，y₁∈(10^0.2/10，10^0.3/10)，y₂∈(0.2，0.3)，那么同理，
10^0.3/10=[10^(3/10)] /10，10的3/10次方等于10次根号下10的3次方（=1000）
（这点很关键，在草稿纸上画画）；
而0.2=2/10，2可以看作10次根号下2的10次方（=1024），
所以0.2＞10^0.3/10，即y₂恒大于y₁，因此此时y₁、y₂没有交集，那么原方程在此区间无根。故B错。

5.y₁、y₂均为单调递增函数，第一根在区间﹙0.1，0.2﹚内，另一根为x=1，而在区间﹙0.2，0.3﹚时，y₂就恒大于y₁，故在区间﹙0.3，1﹚内，y₂都将恒大于y₁，即不可能有交集，故C、D错。 （一定要画图，即形象又好理解）

Answer 2

3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小，0.1=1/10=10º/10，10^0.2＞10º（底数大于1的指数函数单调递增），故10^0.2/10＞10º/10，故此时y₁、y₂有交集，那么原方程另一根必在﹙0.1，0.2﹚之间。故选A。

Answer 3

0.0