初二几何题:如图,已知P是等边三角形ABC的BC边上的任意一点,过P分别作AB、AC的垂线PE和PD,垂足为……
如图,已知P是等边三角形ABC的BC边上的任意一点,过P分别作AB、AC的垂线PE和PD,垂足为E、D。猜想三角形AED的周长与四边形EBCD的周长有何关系,并证明你的猜...
如图,已知P是等边三角形ABC的BC边上的任意一点,过P分别作AB、AC的垂线PE和PD,垂足为E、D。猜想三角形AED的周长与四边形EBCD的周长有何关系,并证明你的猜想。
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四边形EBCD的周长—三角形AED的周长=等边三角形的边长
证明 过C点做CN⊥AB,交AB与N;再过C做CF⊥EF,交EF与F 如图
由此可得四边形CMEN是矩形。而因为三角形ABC是等边三角形,所以N点是AB得中点,即AN=NB=NE+EB 而CF//AB,所以∠FCP=∠EBP=60' 由此证得△CFP与△CPD全等
得CF=CD=EN. 所以BE+EN=BE+CD 所以 四边形周长=BE+BC+CD+ED 三角形周长=AN+NE+ED+DA 即 四边形周长-三角形周长= (BE+BC+CD+ED)-(AN+NE+ED+DA)
因为BE+AE=边长,同理AD+DC=边长 所以 四边形周长-三角形周长=等边三角形的边长
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证明:因为等边三角形ABC中,PE⊥AB于E,
所以∠EPB=30°,
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-AD)
=AB+AC-(BE+AD)
=AB+aC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等
所以∠EPB=30°,
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-AD)
=AB+AC-(BE+AD)
=AB+aC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等
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2011-10-30
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关系:相等。
因为:正三角形
所以:∠B=∠C=∠A=60°.
且:∠PEB=90°.
所以:BP=2BE
同理:PC=2DC.
所以:2(EB+DC)=BC
所以:EB-BC-CD=1.5BC=0.5(三角形ABC周长)
且:EB=BE
所以可知:AED周长=EBCD周长
因为:正三角形
所以:∠B=∠C=∠A=60°.
且:∠PEB=90°.
所以:BP=2BE
同理:PC=2DC.
所以:2(EB+DC)=BC
所以:EB-BC-CD=1.5BC=0.5(三角形ABC周长)
且:EB=BE
所以可知:AED周长=EBCD周长
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过P作PM∥AC,PN∥AB∴∠PMB=∠A=∠B,∠PNC=∠A=∠C∴PM=PB,PN=PC∵PE⊥AB,PD⊥AC∴BE=EM,CD=DN∴四边形AMPN为平行四边形,∴AN=PM,AM=PN∴三角形AED的周长=AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=四边形EBCD的周长
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证明:因为PE垂直于AB,PD垂直于AC.
所以∠EPB=30°,
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-CD)
=AB+AC-(BE+CD)
=AB+AC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等
所以∠EPB=30°,
所以BE=BP/2,
同理CD=PC/2,
所以BE+CD=BP/2+PC/2=(BP+PC)/2=BC/2,
所以AE+AD
=(AB-BE)+(AC-CD)
=AB+AC-(BE+CD)
=AB+AC-BC/2
=3AB/2,
所以三角形AED的周长=AE+AD+DE=3AB/2+DE
四边形EBCD的周长=BE+BC+CD+DE=(BE+CD)+BC+DE=3AB/2+DE
所以三角形AED的周长与四边形EBCD的周长相等
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