Question

如图:在平面直角坐标系中,直线:y=-4/3x+4与坐标轴交于A、B两点,○O1与线段AO、AB、BO分别相切于点C、D、E

（1）若○O2分别与线段AO的延长线、BO、AB的延长线相切于F、G、H，求○O2的半径
（2）作出分别与线段AO、BO的延长线相切的○O3，并直接写出○O3的半径长

Answer 1

1.直线交Y轴于A点，即A(0，4)，交X轴于B点，即B(3，0)，
则有AO=4，BO=3，AB=5（勾股定理），即Rt△ABO(O点即原点)，
我们先来研究内切圆O1，设其半径为R1，画图得知，
CO1=EO1=DO1=R1，
S△ABO=S△AOO1+S△BOO1+S△AO1B，
1/2·AO·BO=1/2·AO·CO1+1/2·BO·DO1+1/2·AB·DO1，
1/2·4·3=1/2·4R1+1/2·3R1+1/2·5R1，
则R1=1；
注：任意一个三角形一定有且仅有一个内切圆。

2.接下来研究旁切圆，旁切圆是与任意两边延长线与第三边相切的圆，故有且仅有三个；
当与OA、OB延长线及AB相切时，设P旁切圆O2半径为R2，画图得知，
GO2=FO2=HO2=R2，
S△ABO=S△BOO2+S△AOO2-S△ABO2，
1/2·AO·BO=1/2·BO·GO2+1/2·AO·FO2-1/2·AB·HO2，
1/2·4·3=1/2·3·R2+1/2·4·R2-1/2·5·R2，
R2=6；

3.同理，当与AO、AB延长线及BO相切时，旁切圆半径为10/3；
当与BO、BA延长线及AO相切时，旁切圆半径为15/4。