Question

求证：方程3^x=2-x/x+1在（0，1）内必有一个实数根。

Answer 1

求证: 方程3的X次方=(2-X)/(X+1)在(0,1)内必有一个实数根.

3^x=(2-x)/(x+1)
===> 3^x*(x+1)+x-2=0
===> x*(3^x+1)+3^x-2=0
令：f(x)=x*(3^x+1)+3^x-2
函数f(x)在(0,1)上为连续函数，且：
f(0)=0+1-2=-1<0
f(1)=1*(3+1)+3-2=5>0
所以，f(x)在(0,1)上必有一个值，使得f(x)=0
所以，方程3的X次方=(2-X)/(X+1)在(0,1)内必有一个实数根.

Answer 2

设f(x)=3^x-2+x/x+1,则对f（x）求导有f'（x）=ln（3）*3^x+1/(x+1）^2>0在x∈（0,1）成立，故在（0,1）f（x）单调递增，而f（0）=-1<0，f(1)=1.5>0,所以在（0，1）内必有一个实数根。

Answer 3

一点处函数值大于0 另一点处函数值小于0 就OK了

作一个函数延拓 显然f(0)=-1<0 f(1)=0.5>0

根据 根的存在性定理 方程3^x=2-x/x+1在(0,1)内必有一个实数根