Question

已知函数f(x)=loga(1-mx)/(x-1)(a>0,a≠1)的图像关于原点对称，

1）求m的值
2）判断f(x)在（1，正无穷）上的单调性，并根据定义证明

Answer 1

（1）
∵f(x)图像关于原点对称
∴f(x)是奇函数
f(-x)=loga(1+mx)/-x-1
=-f(x)
=-loga(1-mx)/(x-1)
=loga(x-1)/(1-mx)
∴1+mx/-x-1=x-1/1-mx
解得：
{m=1
{m=-1
∵1-mx/x-1>0
∴1-mx>0,x-1>0
或1-mx<0,x-1<0
即：1<x<1/m
或 1/m<x<1
∴m=-1(m=1舍去)

(2）
f(x)=loga(x+1)/(x-1) x>1
x+1/x-1=[(x-1)+2]/(x-1)
=1+[2/(x-1)]
当x增大时
2/x-1递减
即:x+1/x-1
随X的增大而减小
所以 f(x)在 （1，正无穷）单调递减

Answer 2

（1）
∵f(x)图像关于原点对称
∴f(x)是奇函数
f(-x)=loga(1+mx)/-x-1
=-f(x)
=-loga(1-mx)/(x-1)
=loga(x-1)/(1-mx)
∴1+mx/-x-1=x-1/1-mx
解得：
{m=1
{m=-1
∵1-mx/x-1>0
∴1-mx>0,x-1>0
或1-mx<0,x-1<0
即：1<x<1/m
或 1/m<x<1
∴m=-1(m=1舍去)

(2）
f(x)=loga(x+1)/(x-1) x>1
x+1/x-1=[(x-1)+2]/(x-1)
=1+[2/(x-1)]
当x增大时
2/x-1递减
即:x+1/x-1
随X的增大而减小
所以 f(x)在 （1，正无穷）单调递减

Answer 3

(x)=loga(1-mx)/(x-1）是奇函数
f(x)+f(-x)=0
loga 1-mx/x-1+loga 1+mx/(-x-1)=0
(1-mx)*(1+mx)/(x-1)(-x-1)=1
1-m^2x^2=1-x^2
(m^2-1)x^2=0
m1=1
m2=-1
m≠1
所以：
m=-1

f(x)=loga [(x+1)/(x-1)]

2
定义域：1+x/x-1>0
x>1或x<-1
f(x)=loga [(x+1)/(x-1)]
令t=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)
t在(1,＋∞)上t>0,且是减函数.
则loga t在R+上
当0<a<1时,是减函数,
当a>1时,是增函数.
又由复合函数单调性
当0<a<1时,f(x)在(1,+∞）上是单调递增函数
当a>1时,f(x)在(1,+∞）上是单调递减函数