a,b为正实数，且a+b=1,求证(a+1/a^2)^2+(b+1/b^2)^2>=81/2
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构造函数f(x)=(x+1/x^2)^2
2阶导f''(x)=2*(1-2/x^3)^2+(12*(x+1/x^2))/x^4>0
所以函数f(x)下凸，根据下凸函数的性质有
[f(a)+f(b)]/2>=f((a+b)/2)
即不等式左端=f(a)+f(b)>=2f((a+b)/2)=2[(1/2)+4]^2=81/2
2阶导f''(x)=2*(1-2/x^3)^2+(12*(x+1/x^2))/x^4>0
所以函数f(x)下凸，根据下凸函数的性质有
[f(a)+f(b)]/2>=f((a+b)/2)
即不等式左端=f(a)+f(b)>=2f((a+b)/2)=2[(1/2)+4]^2=81/2
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