在直角三角形ABC中角C等于90度,D是AB的中点,E，F分别在AC和BC上.且DE垂直于DF，求证EF平方=AE平方+BF平方
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证明:延长ED到M,使DM=DE,连接FM,BM.
又BD=AD,∠BDM=∠ADE.故⊿BDM≌⊿ADE(SAS),BM=AE;∠DBM=∠DAE.
则:∠DBM+∠CBA=∠DAE+∠CBA=90度,FM²=BM²+BF².
又DF垂直平分EM,则EF=FM.
所以,EF²=AE²+BF².
如果CA<AB,上面的结论仍成立.证明方法完全相同,不再赘述.
又BD=AD,∠BDM=∠ADE.故⊿BDM≌⊿ADE(SAS),BM=AE;∠DBM=∠DAE.
则:∠DBM+∠CBA=∠DAE+∠CBA=90度,FM²=BM²+BF².
又DF垂直平分EM,则EF=FM.
所以,EF²=AE²+BF².
如果CA<AB,上面的结论仍成立.证明方法完全相同,不再赘述.
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