Question

如图，MN是圆O的直径，MN=2，，点A在圆O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，

求PA+PB的最小值。 给证明啊

Answer 1

如图：做点B关于MN的对称点C，连接AC，其于MN的交点为P，则此时PA+PB最小

证明：在MN上另取一点Q，连接AQ，BQ，CQ

由于B、C关于MN对称，所以BQ=CQ，BP=CP

所以：PA+PB=PA+PC，QA+QB=QA+QC

在△ACQ中，由于两边之和大于第三边，所以：QA+QC > AC=PA+PC

所以，当P为AC与MN的交点时，PA+PB最小

下面求解PA+PB的值

连接AO、CO，由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠AON=60°，一周为360°，刚好1/6

所以弧AN为1/6圆周，而B是弧AN的中点，所以BN为1/12圆周

B与C关于MN对称，所以弧CN也是1/12圆周

所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周，所对的圆周角为 360°/4 = 90°

即：∠AOC=90°

由于OA、OC都是圆的半径，所以OA=OC=MN/2=1

所以在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=2

所以：AC=√2

即：PA+PB=√2 为其最小值

Answer 2

作A关于MN的对称点A1，连接A1B交MN于P，则此时PA+PB最小（一条线段）。
下求A1B的长：
设A1A交MN于点U，则角NAU=30°，易知A1A=根号3，AB=1/2，由余弦定理可求得A1B=(根号7)/2
(此时PA+PB=A1B)