Question

用中值定理求证，当x>0时，x/(1+x)<ln(1+x)<x

详细过程

Answer 1

取f(x)=ln(1+x), 则存在c介于0与x之间使得
ln(1+x)=ln(1+x)-ln(1+0)=f'(c)x=x/(1+c)
而0<c<x, 所以1/(1+x)<1/(1+c)<1, 所以当x>0时，x/(1+x)<ln(1+x)<x

Answer 2

f(x)=ln(1+x)-x, 则f(x)=f(x)-f(0)=f'(e)x=-ex/(1+e)<0, 0<e<x;
g(x)=ln(1+x)-x/(1+x), 则g(x)=g(x)-g(0)=g'(e)x=xe/(1+e)^2>0，0<e<x;
实际上，回顾证明过程知，结论对于x>-1都是正确的。