Question

证明不等式 当0<x<1时,√[(1-x)/(1+x)]<ln(1+x)/arcsinx

Answer 1

先证明：当0<x<1时，x/(1+x)<ln(1+x)
设：f(x)=ln(1+x)-x/(1+x), 0<=x<1
则：当x>0时，f‘(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/1+x)^2>0
从而可知当0<x<1时，f(x)>f(0)=0，故：x/(1+x)<ln(1+x)

欲证：√[(1-x)/(1+x)]<ln(1+x)/arcsinx
只需证：√[(1-x)/(1+x)]<[x/(1+x)] /arcsinx
即：arcsinx<x/√(1-x^2)
令g(x)=x/√(1-x^2)-arcsinx，0<=x<1
则：当x>0时，g’(x)=x^2/[(1-x^2) √(1-x^2)] >0
从而可知当0<x<1时，g(x)>g(0)=0，故：√[(1-x)/(1+x)]<[x/(1+x)] /arcsinx

从而当0<x<1时,√[(1-x)/(1+x)]<ln(1+x)/arcsinx