Question

诚心请问：如何用中值定理证明这个不等式：当x>0时，x/(1+x)<ln(1+x)<x.谢谢啊！

Answer 1

去f=ln(1+x)，f的导数就是1(1+x)，这个导数是在正实数上是单调递减的。分别取0点和x点做拉格朗日中值定理的端点，列出比例式子，而这个等于0到x之间的某个点的导数。由导数的单调性知道，这个值比在0点的导数小，也就是比1小，比在x出的导数大，也就是比1(1+x)大。这个在学习尾猿里都有教程的，刚好看过

Answer 2

f(x)=ln(1+x) f(0)=0
f'(x)=1/x
存在t在1和1+x之间使得[f(1+x)-f(0)]/(x-0)=f'(t)=1/(1+t)
因为0<t<x 所以 1/(1+x)<1/(1+t)<1
带入即可得到 1/(1+x)<ln(1+x) /x <1
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x