Question

如何用中值定理证明x/(1+x)<ln(1+x)<x，x>0？

Answer 1

证明：

不等式两边同时除以x

∵ x大于0，不等号方向不变

∴1/(1+x)<ln(1+x)/x<1

又∵ ln1=0

∴存在c∈(1,1+x)

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c

∵ c∈(1,1+x)

∴1/(1+x)<1/c<1得证

扩展资料

证明数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即

1/(1+x)<ln(1+x)/x<1;

又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式

即存在c∈(1,1+x),使得

ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;

因为c∈(1,1+x)；

所以1/(1+x)<1/c<1得证。

扩展资料：

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

几何意义

若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

Answer 3

ls各位没用到中值定理= =

不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即
1/(1+x)<ln(1+x)/x<1;
又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式
即存在c∈(1,1+x),使得
ln(1+x)/x=【ln(1+x)-ln1】/x=1/c;
因为c∈(1,1+x)；
所以1/(1+x)<1/c<1
得证

Answer 4

令g(x)=ln(1+x)
由于g(x)= ln(1+x)-ln(1+0)
=1/(1+c)(1+x-1)= x/(1+c)

其中 0<c<x

所以 x/(1+x)<ln(1+x)=x/(1+c)<x

Answer 5

f(x)=x/(1+x)
g(x)=ln(1+x)
h(x)=x
f(0)=g(0)=h(0)
f'<g'<h'

故而得证：f<g<h
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x