Question

已知: A1=1 , A(n+1) = 1/An + An. 求lim An/n =? 其中n→∞

Answer 1

这个数列An是趋向于正无穷的．理由如下：
首先An都是大于1的．再由A(n+1)-An=1/An>0可知，数列是单调增的．若An有上界，则An必有极限，不妨设其极限为a, 递归公式两边取极限得
a=1/a+a,于是1/a=0.这是不可能．所以An没有上界，且递增，所以An趋向于正无穷.
再由stone定理可知
lim(n-->∞)An/n=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[n+1-n]=lim(n-->∞)1/An=0.
数列形式的stone定理:
当n-->∞时,An-->+∞,Bn-->+∞,lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn]存在,则必有
lim(n-->∞)An/Bn=lim(n-->∞)[A(n+1)-An]/[B(n+1)-Bn].

追问

你说的应该是 Stolz 定理而非Stone。

追答

是的,是Stolz定理,不好意思.

Answer 2

你好~~
当n→∞时，设An=t，那么A(n+1)=1/t+t，且An为正项数列（每一项都为正数），
∵limA(n+1)/(n+1) =limAn/n，
∴(1/t+t)/(n+1)=t/n，
通分，两边同时乘以n(n+1)：
∴n/t+nt=nt+t
∴n/t=t
∴t=√n
那么limAn/n=t/n=(√n)/n=1/√n=0

有不明白的可以追问。

追问

“∵limA(n+1)/(n+1) =limAn/n，
∴(1/t+t)/(n+1)=t/n”

这一步的推理是错的。

追答

为什么呢？

追问

这个，你自己去思考一下吧。不懂的可以hi我，就不在这里解释了。

Answer 3

由原式可得：A(n+1) = 1/An +An,两边同时乘以n求极限得到lim[n*A(n+1)] = lim[n/An ]+lim[n*An]，其中n→∞，因为limA(n+1) = limAn，可得limn/An=0

追问

我想说的是：当一个等式两边取极限的时候，先要对极限的存在性做说明 。