Question

证明｜arctana―arctanb|<=|a―b|

中间那个符号是小于等于，因为打不出@_@

Answer 1

用中值定理。

考察函数 f(x)=arctanx，则 f '(x)=1/(1+x^2)<=1，
所以 对任意实数a，b，
当a=b时，显然有 |f(a)-f(b)|=0=|a-b|，
当a≠b时，由中值定理，存在ξ使 |f(a)-f(b)|/|a-b|=|f '(ξ)|<=1，
因此 |f(a)-f(b)|<=|a-b|。

Answer 2

给力知识点：α∈（-π/2，π/2），则 |tanα|≥|α|。这个结论可在单位圆中利用正切线证明。
易知 |arctana|≤|a|,|arctab|≤|b|,
分两种情况：
（1）当 a,b异号时，不妨设a>0,b<0，则 |arctana―arctanb|=arctana+arctan(-b)<a-b=|a-b|;
(2) 当a,b同号时，设θ=arctana―arctanb，则有θ∈（-π/2，π/2）且
tanθ=(a-b)/(1+ab)，因为 |tanθ|≥|θ|，所以|(a-b)/(1+ab)|≥|arctana―arctanb|
因为1+ab>1,
所以 |a-b|≥|(1+ab)|•|arctana―arctanb|≥|arctana―arctanb| （当a=b时取等号）
由（1）、（2）知，
｜arctana―arctanb|≤|a―b|

Answer 3

由Lagrange中值定理 |arctana-arctanb|=|1/(1+c^2)|*|(a-b)|<=|a-b|