Question

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）。 an+1，an-1为下角标

（1）设bn=an+1-an（n∈正整数），证明{bn}是等比数列 （2）求数列{an}的通项公式。 an+1，an-1为下角标

Answer 1

a(n+1)=(1+q)an-qa(n-1)
a(n+1)=an+qan-qa(n-1)
a(n+1)-an=qan-qa(n-1)
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=q
因为bn=a(n+1)-an
所以bn/b(n-1)=q
所以bn是以q为公比的等比数列
bn=(a2-a1)*q^(n-1)
bn=q^(n-1)
a(n+1)-an=q^(n-1)

a(n+1)-an=q^(n-1)
an-a(n-1)=q^(n-2)
............
a3-a2=q^1
a2-a1=q^0
以上等式相加得
a(n+1)-a1=q^(n-1)+q^(n-2)+............+q^1+q^0
a(n+1)-a1=(1-q^n)/(1-q)q≠0
a(n+1)-1=(1-q^n)/(1-q)
a(n+1)=(1-q^n)/(1-q)+1
a(n+1)={1-q^[(n+1)-1}/(1-q)+1
an={1-q^(n-1)}/(1-q)+1(q≠1)

an=n(q=1)

追问

因为bn=a(n+1)-an
所以bn/b(n-1)=q
为什么是bn/b(n-1) （b（n-1）不知道啊？）

追答

∵bn=a(n+1)-an
∴b(n-1)=an-a(n-1)

Answer 2

解：（1）由an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）得，an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）．
又b1=a2-a1=1，q≠0，bn≠0．
所以，{bn}是首项为1，公比为q的等比数列
（2）由（1）有，bn=qn-1an-a1=（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=1+q++qn-2（n≥2）
所以，当n≥2时， ．．
上式对n=1显然成立．
（3）q=1符合题意；
若q≠1，

或
解得：q∈（0，1）∪（1，2）．．
综上，q∈（0，2）..

追问

an+1-an=q（an-an-1），得出bn=qbn-1，没看懂