Question

设椭圆上存在一点P,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围。

Answer 1

不妨设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，右顶点为A，
由条件，点P在以OA为直径的圆上，且此圆与椭圆有两个交点（其中一个就是点A，另一个就是点P），且点P的横坐标必须<a.
故联立方程组，可得点P的横坐标ab^2/(a^2-b^2)<a，得根号2/2<e<1，即为所起椭圆离心率的取值范围。