Question

1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n*(n+1)(n+2)=?

Answer 1

这是一个很有规律的数列求和
1*2*3=(1*2*3*4-0*1*2*3)/(4-0)，括号里1*2*3是公因数，提出后剩下(4-0),把它除掉就是1*2*3了
2*3*4=(2*3*4*5-1*2*3*4)/(5-1)， 同理
...
n*(n+1)(n+2)=[n*(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n*(n+1)(n+2)]/[(n+3)-(n-1)]
分母都是4
相加，所有中间项都消去了
只剩首尾Sn=[n*(n+1)(n+2)(n+3)-0*1*2*3]/4=n*(n+1)(n+2)(n+3)/4
把n=1代入S1=6=1*2*3
对的

Answer 2

令f(n)=(n-1)*n*(n+1)=n^3-n
求和：f(1)+f(2)+...+f(n)=1^3+2^3+...+n^3-(1+2+...+n)=[n(n+1)/2]^2-n(n+1)/2
令g(n)=[n(n+1)/2]^2-n(n+1)/2
所求式子=f(2)+f(3)+...+f(n)+f(n+1)=g(n+1)-f(1)=[(n+1)(n+2)/2]^2-(n+1)(n+2)/2
整理一下，结果是n(n+1)(n+2)(n+3)/4

Answer 3

把(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1算出来,结果是n^4+10n^3+35n^2+50n+25
设
(n2+bn+c)的平方等于上面那个数
则
c^2=25
2b=10
2c+b^2=35
解得
b=5
c=5
所以是n^2+5n+5