Question

函数f(x)的定义域为D={x|x不等于零},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2）

如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)小于或等于3,且f(x)在零到正无穷上是增函 数,求x的取值范围.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;

Answer 1

首先求出以3为函数值的自变量是多少，f(4)+f(4)=f(16)=2,f(16)+f(4)=f(64)=3,
f(3x+1)+f(2x-6)=f[(3x+1）*（2x-6)],又因为函数为增函数，(3x+1)*(2x-6)<=64,且3x+1>0,2x-6>0，解后取交集

追问

差东西了，我补上了，你再看看，需要（2）中奇偶性吗

追答

f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0,又f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0;f(x)=f(xy/y)=f(x/y)+f(y)得f(x)-f(y)=f(x/y)，令y=-x得，f(x)-f(-x)=f(-1)=0,得f(x)=f(-x)，又因为定义域D关于原点对称，所以f(x)为偶函数

追问

你说的我都会。我的意思是（3）需要考虑负无穷到零是减函数吗？

追答

第一步中的解答补充一下，它是偶函数的话，f（-64）也等于3，且在负无穷到零上为减函数，再解一个不等式组

Answer 2

（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）证明：令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．
令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组 {(3x+1)(2x-6)＞0(3x+1)(2x-6)≤64
或 {(3x+1)(2x-6)＜0-(3x+1)(2x-6)≤64
或 {x＞3或x＜-13-73≤x≤5或 {-13＜x＜3x∈R.
∴3＜x≤5或- 73≤x＜- 13或- 13＜x＜3．
∴x的取值范围为{x|- 73≤x＜- 13或- 13＜x＜3或3＜x≤5}．