Question

大一数学分析，函数极限证明限制问题（不计算，只是有些地方不懂，求解答）

我在学的过程中，发现有些函数极限证明要限制x的范围，有些不需要，这是怎么回事？
比如讨论函数根号下（1-x^2）在定义区间端点±1的单侧极限这道题就直接求解
而另一道lim（x→2-）根号下（4-x^2）=0在证明过程中就需先限制0<2-x<1，然后δ取min{1,ε^2/4}
说白了，就是问下什么情况下要限制x的取值？

Answer 1

在定义当中，任取ε>0，存在δ>0，任取x满足0<|x-x0|<δ必有|f(x)-A|<ε
从直观上将，ε和δ的主要矛盾集中于ε和δ都比较小的情况，但是定义里并没有直接说过这一点，所以在技术上需要把ε或δ可能会比较大的情况也考虑进去，如果要把它们归结为较小的情形就得自己加约束条件。
对于ε或δ的范围加上一定的限制，相当于加强了条件，这样才可以或者容易推出较强的结论，比如你这里的问题，不论如何至少得保证-2<=x<2吧，然后x离2太远了也不容易处理，既然δ是可以自己取的，何不取得小一点避免麻烦。过分一点，如果ε=10000，仅仅取δ=ε^2/4就没有任何意义。适当加强条件主要还是为了解决问题。
类似地还有不妨设0<ε<1的情况，大致是一个道理。

Answer 2

其实没有限制的，加入限制只是在不影响证明的情况下，为了更容易找到对应的δ，比如你的第二个例子，其实也可以认为没有限制，取δ＝min{1,ε^2/4}后，这样δ既小于1，又小于ε^2/4，这样我们在证明过程中，可以根据需要有时要它小于1，有时需要它小于ε^2/4。
当然你把它理解为限制也可以，因为δ反正是比较小的，限制一下对于问题的证明不会有影响，而容易让我们找到δ的取值。