Question

设a>0,f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，求a值.

∵f(x)=e^x/a+a/e^x
∴f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(a*e^x)+a*e^x
又f(x)=f(-x)
∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0
∵[e^x-e^(-x)]=e^(-x)[e^(2x)-1]≠0 (x≠0时)
∴若要对任何x均成立，必有a-1/a=0
∴a=±1
又a>0
∴a=1
答案是这样，但是我有一步看不懂，为什么最后化简会变成这样？
这一步：f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(a*e^x)+a*e^x
还有这一步：∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0

帮我解释一下= =

Answer 1

首先e^-x=(e^x)^-1=1/e^x, 另外偶函数满足f(x)=f(-x),此为偶函数定义式，在结合e^-x=1/e^x,不难看出上式

追问

可以给我详细化简步骤吗。。我还是不懂阿

追答

是这一步吗？：∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0
:e^x/a-a*e^x=(a*e^-x)-(1/a*e^-x)
e^x(1/a-a)=e^-x(a-1/a)
(a-1/a)(e^x-e^-x0)=0

Answer 2

f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，所以对于任意x,都有f（-x)=f(x）
所以f(-1)=f(1)
即（e^-1)/a+a/e=e/a+a/(e^-1)
通过移项得，e/a-(e^-1)/a=a/（e^-1)-a/e
解得a=1或-1
因为a>0
所以a=1

Answer 3

f(-x)=e^(-x)/a+a/e^(-x)=1/(a*e^x)+a*e^x是运用了x^(-1)=1/x, 1/x^(-1)=x.
还有这一步：∴e^x/a+a/e^x=1/(a*e^x)+a*e^x
(a-1/a)[e^x-e^(-x)]=0. 就是简单的移项

Answer 4

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