Question

初三几何竞赛题

四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB,CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交与点P、Q。若MF·CD=NF·AB且DQ·BP=AQ·CP。求证PQ⊥BC

Answer 1

连接AF、BF、DF、CF，∵点M、N分别为边AB、CD的中点，MF⊥AB，NF⊥CD，∴△AFB和△CFD为等腰△，AF=BF，DF=CF，∵MF·CD=NF·AB，MF/NF=AB/CD=AM/DN，∠AMF=∠DNF=90°，∴△AMF∽△DNF，同理可证：△BMF∽△CNF，则△AFB∽△CFD，∴∠AFB=∠CFD，∵∠BFD=∠AFB+∠AFD，∠AFC=∠CFD+∠AFD，∴∠BFD=∠AFC，∵AF=BF，DF=CF，∴△BFD≌△AFC，∴AC=BD，∠FAC=∠FBD，∠AEB=∠AFB，则A、E、F、B四点共圆，∠BAF=∠BEF，同理可证D、E、F、C四点共圆，∠CDF=∠CEF，∵∠BAF=∠CDF，∴∠BEF=∠CEF，则PQ为∠BEC的角平分线，AE/ED=AQ/QD，BP/CP=BE/EC，∵DQ·BP=AQ·CP，AQ/QD=BP/CP，∴AE/ED=BE/EC，∵∠AED和∠BEC为对顶角，∴△AED∽△BEC，∠DAC=∠DBC，∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆，∵AC=BD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠ABD=∠DCA，∴△ABD≌△DCA，∴AB=CD，∠ACB=∠DBC，△BEC为等腰△，∴PQ⊥BC。

Answer 2

连接AF、BF、DF、CF，∵点M、N分别为边AB、CD的中点，MF⊥AB，NF⊥CD，∴△AFB和△CFD为等腰△，AF=BF，DF=CF，∵MF·CD=NF·AB，MF/NF=AB/CD=AM/DN，∠AMF=∠DNF=90°，∴△AMF∽△DNF，同理可证：△BMF∽△CNF，则△AFB∽△CFD，∴∠AFB=∠CFD，∵∠BFD=∠AFB+∠AFD，∠AFC=∠CFD+∠AFD，∴∠BFD=∠AFC，∵AF=BF，DF=CF，∴△BFD≌△AFC，∴AC=BD，∠FAC=∠FBD，∠AEB=∠AFB，则A、E、F、B四点共圆，∠BAF=∠BEF，同理可证D、E、F、C四点共圆，∠CDF=∠CEF，∵∠BAF=∠CDF，∴∠BEF=∠CEF，则PQ为∠BEC的角平分线，AE/ED=AQ/QD，BP/CP=BE/EC，∵DQ·BP=AQ·CP，AQ/QD=BP/CP，∴AE/ED=BE/EC，∵∠AED和∠BEC为对顶角，∴△AED∽△BEC，∠DAC=∠DBC，∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆，∵AC=BD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠ABD=∠DCA，∴△ABD≌△DCA，∴AB=CD，∠ACB=∠DBC，△BEC为等腰△，三线合一就可正处所求