Question

二次函数y=1/2x+bx+c与y轴交C(0,-1)与X轴交于A、B两点,其中A(2,0),

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点E是线段A、C上的动点，DE⊥X轴，问：△DCE的面积最大时，D的坐标是多少？
（3）直线BC上是否有一点P使△ACP为等腰三角形，若存在，求出坐标并说明理由
速度啊~~拜托额~

Answer 1

y=1/2x^2+bx+c与y轴交C(0,-1)
-1 = 0+0+c，c=-1
y=1/2x^2+bx-1
与X轴交于A、B两点,其中A(2,0)
0 = 1/2*4+2b-1
2b=-1
b = -1/2
y=1/2x^2-1/2x-1

AC所在直线方程：y/(x-2) = (y+1)/x，即x-2y+2=0，y=1/2x-1
用(x，y)代表E点坐标
S△DCE = 1/2 |DE| * |OE| = 1/2 | x * y |，其中x∈（0，2），y=1/2x-1，代入得：
S△DCE = 1/2 | x * (1/2x-1) | = 1/4 | x^2-2x |
对称轴x= 1，又x趋近于0和x趋近于2时，1/4 | x^2-2x |趋近于0
此时D点坐标（1，0）

y=1/2x^2-1/2x-1
令y=0，x^2-x-2=0，（x+1)(x-2)=0，x1=-1，B点坐标(-1，0)
BC所在直线方程：y/(x+1) = (y+1)/x，即x+y+1=0，y=-x-1
P为BC上一点，令P点坐标为(x，y)，则y=-x-1，其中x∈【-1，0)
∵|AC|=√(2^2+1^2)=√5，|BC| = √(1^2+1^2) = √2
又：P在BC上，∴PC≤BC＜AC
∴如果PAC是等腰三角形，必须|AC|=|AP|
即必须：AP^2=AC^2=5
(xP-xA)^2+(yP-yA)^2=5
(x-2)^2 + (-x-1-0)^2=5
x^2-4x+4+x^2+2x+1=5
2x^2-2x=0
2x(x-1)=0，x=0或1
x=0时，P点与C重合，不构成三角形
x=1时，超出BC范围
∴BC上不存在一点P使△ACP为等腰三角形

追问

第三题应该有4个点啊~？

追答

如果限于BC之内，则不存在P点构成等腰三角形ACP
如果P可以在BC以外，可能的情况就较多了

追问

拜托...是直线上，不是线段，BC是条直线~~4个点，怎么求？？拜托，我加分~~

追答

哦，老婆喊我吃饭，饭后再做

追问

OK 等到你的

追答

y=1/2x^2-1/2x-1
令y=0，x^2-x-2=0，（x+1)(x-2)=0，x1=-1，B点坐标(-1，0)
BC所在直线方程：y/(x+1) = (y+1)/x，即x+y+1=0，y=-x-1
P在直线BC上，令P点坐标（x，-x-1）
C点坐标（0，-1）
AC=√[(2-0)^2+(0-(-1))^2]=√5
△ACP为等腰三角形，可能的情况有：
（一）：AP=AC，即AP^2=AC^2
(2-x)^2 + (0-(-x-1))^2=5
x^2-4x+4+x^2+2x+1=5
2x^2-2x=0
2x(x-1)=0，x=0或1
x=0时，P点与C重合，不构成三角形
x=1时，y=-x-1=-2，此时P点坐标（1，-2)
（二）CP=CA，即CP^2=CA^2
此时：(0-x)^2+(-1-(-x-1))^2=5
x^2+x^2=5
2x^2=5
x=±√10/2
x=-√10/2时，y=√10/2-1
x=√10/2时，y=-√10/2-1
此时P点坐标(-√10/2，√10/2-1)，（√10/2，-√10/2-1）
（三）PC=PA，即PC^2=PA^2
此时：(x-0)^2+(-x-1-(-1))^2 = (x-2)^2+(-x-1-0)^2
x^2+x^2 = x^2-4x+4+x^2+2x+1
2x=5
x=5/2
y = -5/2-1 = -7/2
此时P点坐标(5/2，-7/2)

追问

谢了 ，第二题中：其中x∈（0，2），y=1/2x-1，代入得这啥意思？

追答

就是将y=1/2x-1代入S△DCE =1/2 | x * y |
得到
S△DCE = 1/2 | x * (1/2x-1) | = 1/4 | x^2-2x |

追问

这个啊？其中x∈（0，2）

追答

x∈（0，2）这是定义域，表示0＜x＜2