Question

已知函数f(x)=2ax+2a+1,x∈[-1,1],若f(x)的值有正有负,则实数a的取值范围是

Answer 1

如果a=0，f(x)=1是一条平线,与题意不符，所以a不能等于0
如果a>0,则此线段斜率为正，是增函数。f(1)>=f(x)>=f(-1)解之得：
1<=f(x)<=4a+1, 可以发现f(x)任何情况下都是正的，所以与题意不符，所以a>0不符题目要求。
只考虑a<0，且不等于0时的情况：
可以看出此时，此线段斜率为负，为减函数。
以上先确定了线段的斜率方向。
如果考虑f(x)要有正有负，可以看做是在【-1，+1】的闭区间内的斜率为负的一簇线段，要满足两个条件：
1.f(x)的最小值必须小于0（大于零测无负数，不满足题意），则地f(1)是最小值，4a+1<0,a<-1/4
2.f(x)的最大值必须大于0（不然永远负值不满足题意），因为最大值f(-1)=1>0恒成立，对a无要求。所以结合这两个条件，得出a<-1/4是最终解。

Answer 2

f(x)为一次函数，则最值在端点，有正有负表明端点值异号，即：
f(-1)f(1)<0
1*（4a+1)<0
解得：a<-1/4

Answer 3

∵f(x)=2ax+2a+1图像为直线，即f(x)为单调函数
所以f(x)的最大值和最小值都在f(-1)和f(1)里
∵f(x)的值有正有负
∴f(-1)×f(1)＜0
∴( -2a+2a+1)×(2a+2a+1)＜0
a＜ -1/4

Answer 4

解：
因为f(x)=2ax+2a+1,x∈[-1,1]且f(x)的值有正有负
所以在区间[-1,1]存在零点即f(1)×f(-1)＜0
即(2a+2a+1)(2a-2a+!)＜0
得a＜-0.25