Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2），且离心率为根号3/2，过点B（-1，0）能否做直线l,

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(1,根号3/2），且离心率为根号3/2，过点B（-1，0）能否做直线l,使直线l与椭圆C交于M,N两点。且以MN为直径的圆经过坐标原点O，求出l的方程

Answer 1

解：
根据题意，易得椭圆C方程为x^2/4+y^2=1。设过点B(-1,0)的方程为y=k(x+1)，交椭圆C于点M(x1,y1)、N(x2,y2)。联立方程组
x^2/4+y^2=1 ①
{
y=k(x+1) ②
将方程②代入方程①，化简整理得(4k^2+1)x^2+8k^2*x+(4k^2-4)=0
由韦达定理可得
x1+x2=-8k^2/(4k^2+1) ③
{
x1*x2=(4k^2-4)/(4k^2+1) ④
由于以MN为直径的圆经过坐标原点O，则有△MON为RT三角形。根据勾股定理有
(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
化简得x1*x2+y1*y2=0，结合式②，将y1=k(x1+1) 及y2=k(x2+1) 代入并化简得
k^2-4=0
解得k=±2
也即存在两条直线l:
y=±2(x+1) ，使直线l与椭圆C交于M,N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O。
当然在前述设直线l的方程时，没有考虑直线x=-1的情况。经验算可知交点为（-1,√3/2）、（-1,-√3/2），不满足条件。

Answer 2

令m,n =a^2。b^2
带入方程组得出M=4，n=1
即就是1/4x^2+y^2=1
设方程为Y=k(x+1)
带入椭圆方程，消去Y
(1+4k^2)+8k=0
2r=8k(1+k^2)^(1/2)/(1+4k^2)
r=k/(1+k^2)^(1/2)
联力方程组求解即可

Answer 3

先把椭圆写出来啊。知道经过一个定点，还知道离心率，就能求出椭圆方程了。

Answer 4

我不会。。