Question

三角形ABC中,角ABC所对应的边分别为abc且4sin^A+B/2-cos2C=2/7。求角C的大小；求sinA+sinB的最大值

Answer 1

(1)、因为A,B,C为三角形的内角，
所以A+B+C=派。
因为4sin^2A+B/2-cos2C=7/2,
所以4cos^2C/2-cos2C=7/2
所以4(1+cosC)/2-(2cos^2C-1)=7/2
即2cos^2C-2cosC+1/2=0所以cosC=1/2
又因为0<C<派，所以C=派/3.
(2)、由(1)知，A+B=2派/3,
所以sinA+sinB=sinA+sin(2派/3-A)=sinA+sin2派/3cosA-cos2派/3sinA=3/2sinA+√3/2cosA=√3sin(A+派/6)
因为0<A<2派/3,所以派/6<A+派/6<5派/6.
所以当A+派/6=派/2,即A=派/3时，sinA+sinB取得最大值√3。

Answer 2

4sin^2(A+B/2)-cos2C = 7/2
2(1-cos(A+B))-(2cos^C-1)=7/2
4cos^2C-4cosC+1=0
(2cosC-1)^2=0
cosC=1/2
C=60
sinA+sinB=sinA+sin(120-A)=√3/2cosA+3/2sinA=√3sin(A+30）
当A=60时sinA+sinB的最大值是√3