Question

an>0, 数列Σan是发散数列。sn=a1+a2+...+an. 证明： 1）Σan/sn 是发散数列 2）Σan/1+an 是发散数列

3）Σan/sn^2是收敛数列

Answer 1

如图

Answer 2

1)∵∑an=a1+a2+...+an；sn=a1+a2+...+an；
∴sn=∑an；
∴∑an/sn=1 ?
(∑an/sn)-(∑an+1/sn+1)
=[∑an(sn+an+1)-sn(∑an+an+1)]/(sn*sn+1)
=[(an+1)*(∑an-sn)]/(sn*sn+1) >0 =0?
2)我觉得是收敛数列
∵an>0
∴an<1+an
∴an/(1+an)<1
∴lim∑(an/(1+an)=1
3)如果an是等比数列，且0<an<1，则limΣan/sn^2=1，则收敛；
如果an是其他数列，且0<an<an+1，则limΣan/sn^2=0，则收敛；
如果an是其他数列，且0<an+1<an，则limΣan/sn^2=∞，则发散。