Question

若f(X)=x平方-x+b.且f(log2 a)=b log2[f(a)]=2(a>0 且a不等于1） （1）求f(ln)的最小值及相应x的值。

（2）x取何值时，满足f(log2X)>f(1)且log2[f(x)]<f(1）

Answer 1

1）
f(x)=x²-x+b ,且 f(log2 a)=b
那么 (log2a)²-log2 a+b=b
log2 a (log2 a-1)=0
因为 a不等于1 所以 log2 a不等于0
则 log2 a=1
所以，a=2
f(2)=2+b
log2 (f(a))=log2(f(2))=log2 (2+b)=2
因此， 2²=2+b
b =2
于是，f(x)=x²-x+2
f(lnx)=ln²x -lnx+2=(lnx-1/4)²+5/4
所以，当 lnx=1/4时，即 x=e^(1/4)时，f(lnx) 有最小值 5/4
2）
因为 f(log2 x)=(log2x)²-log2 x+2 f(1)=2
若 f(log2 x)>f(1)
那么 log2x (log2 x-1)>0
因为log2 (f(x))<f(1)
log2(x²-x+2)<2 由于 log2 x 是单调递函数
则 x²-x+2<4 x²-x-2<0 (x+1)(x-2)<0
-1<x<2 但 x>0 所以 0<x<2
那么 log2 x <1 log2 x -1<0
由 log2 x(log2 x-1)>0 得
log2 x<0
从而可得 0<x<1