x属于[0,1]时,不等式(a^2-1)x+2a>0恒成立,求a的范围
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解:设f(x)=(a^2-1)x+2a,图像是一条直线
(1)当a^2-1>0,即a>1或a<-1;直线斜率为正,单调递增,在[0,1]上最小值是f(0),故满足f(0)>0即可
f(0)=2a>0,所以a>1满足;
(2)当a=1时,也满足;
(3)当a^2-1<0,即-1<a<1时,直线斜率为负,单调递减,在[0,1]上最小值是f(1),故满足f(1)>0即可
f(1)=a^2+2a-1>0
即a^2+2a-1>0
a^2+2a+1-2>0
a^2+2a+1>2
(a+1)^2>2
a+1>√2,a+1<﹣√2;
a>√2-1,a<﹣√2-1
所以,1>a>√2-1
综上所述:a>√2-1
(1)当a^2-1>0,即a>1或a<-1;直线斜率为正,单调递增,在[0,1]上最小值是f(0),故满足f(0)>0即可
f(0)=2a>0,所以a>1满足;
(2)当a=1时,也满足;
(3)当a^2-1<0,即-1<a<1时,直线斜率为负,单调递减,在[0,1]上最小值是f(1),故满足f(1)>0即可
f(1)=a^2+2a-1>0
即a^2+2a-1>0
a^2+2a+1-2>0
a^2+2a+1>2
(a+1)^2>2
a+1>√2,a+1<﹣√2;
a>√2-1,a<﹣√2-1
所以,1>a>√2-1
综上所述:a>√2-1
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(1)当a²-1=0时,不等式化为 2a>0,故a=1。
(2)当a²-1≠0时,令f(x)=(a²-1)x+2a,则f(x)为一次函数,是单调的,
从而“x属于[0,1]时,不等式(a²-1)x+2a>0恒成立”,等价于
f(0)>0
f(1)>0
即 2a>0
a²-1+2a>0
解得a>√2-1
由(1)(2)a的范围为a>√2-1
(2)当a²-1≠0时,令f(x)=(a²-1)x+2a,则f(x)为一次函数,是单调的,
从而“x属于[0,1]时,不等式(a²-1)x+2a>0恒成立”,等价于
f(0)>0
f(1)>0
即 2a>0
a²-1+2a>0
解得a>√2-1
由(1)(2)a的范围为a>√2-1
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f(x)= (a^2-1)x+2a 在x属于[0,1]时>0恒成立
1' a^2-1>0 即 a<-1 or a>1时,f(x)min=f(0)=2a>0恒成立 得 a>0
2' a^2-1=0 即 a=-1 or a=1时,2a>0恒成立 得 a>0
3' a^2-1<0 即 -1<a<1 时,f(x)min=f(1)=a^2+2a-1>0恒成立 得 -1-√2<a<-1+√2
综上:a={ -1<a<-1+√2,a≥1 }
1' a^2-1>0 即 a<-1 or a>1时,f(x)min=f(0)=2a>0恒成立 得 a>0
2' a^2-1=0 即 a=-1 or a=1时,2a>0恒成立 得 a>0
3' a^2-1<0 即 -1<a<1 时,f(x)min=f(1)=a^2+2a-1>0恒成立 得 -1-√2<a<-1+√2
综上:a={ -1<a<-1+√2,a≥1 }
追问
好像答案是a的范围为a>√2-1
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