Question

已知函数f(x)=2a*4^x-2^x-1

1)当a=1时，求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域；
2）若关于x的方程f(x)=0有解，求a的取值范围。

Answer 1

(1)a=1时
f(x)=2*4^x-2^x-1=2(2^x-1/4)²-9/8,
因2^x∈【1/8,1]，
所以当2^x=1/4时，
f(x)取最小值-9/8;
当2^x=1时，
f(x)取最大值0，
故f(x)的值域为【-9/8,1】
(2)令2^x=t ,t＞0
令f(x)=0,则
2at^2-t-1=0
①当a=0时，-t-1=0，t=-1
因为t＞0，所以a≠0
当a≠0时
因为t＞0，所以方程至少有一个实根
②当2a＞0，即a＞0时
方程必有一正根一负根，此时符合题意
③当2a＜0，即a＜0时
由画图可知，此时方程无正根
所以a＜0时不成立
综上所述
a＞0
希望能帮到你

Answer 2

设t=2^x,f(x)=2a*t^2-t-1
1)当a=1时，原式=2*t^2-t-1=2(t-1/4)^2-9/8
x∈[-3,0]=>t∈[1/8,1]
所以当t=1/4时，f(x)min=-9/8;当t=1时，f(x)max=0; 所以f(x)在x∈[-3,0]的值域是[-9/8,0]
2)2a*t^2-t-1=0
f(x)有解=>1^2-4*(2a)*(-1)>=0(韦达定理)
=>a∈(-无穷,无穷)