设a,b,c为三角形ABC的三边长,求证a/(a+1)+b/(b+1)>c/(c+1)
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证明:
由题可知a,b,c>0,且b+c>a
∴c<b+c+2bc+abc
a-abc+1-bc<1+b+c+bc
(a+1)(1-bc)<1+b+c+bc
(1-bc)/(1+b+c+bc)<1/(a+1)
(bc-1)/(1+b+c+bc)>-1/(a+1) (两边同加1)
(b+c+2bc)/(1+b+c+bc)>a/(1+a)
而左边=[b(1+c)+c(1+b)]/[(b+1)(c+1)]=b/(1+c)+c/(1+b)
∴有b/(1+c)+c/(1+b)>a/(1+a)
即a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)
由题可知a,b,c>0,且b+c>a
∴c<b+c+2bc+abc
a-abc+1-bc<1+b+c+bc
(a+1)(1-bc)<1+b+c+bc
(1-bc)/(1+b+c+bc)<1/(a+1)
(bc-1)/(1+b+c+bc)>-1/(a+1) (两边同加1)
(b+c+2bc)/(1+b+c+bc)>a/(1+a)
而左边=[b(1+c)+c(1+b)]/[(b+1)(c+1)]=b/(1+c)+c/(1+b)
∴有b/(1+c)+c/(1+b)>a/(1+a)
即a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)
追问
= =是求证a/(a+1)+b/(b+1)>c/(c+1),而不是a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c) 啊
追答
a,b,c是等价的
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