设a,b,c为三角形ABC的三边长,求证a/(a+1)+b/(b+1)>c/(c+1)

sunnykirby1111
2011-11-12 · TA获得超过2.7万个赞
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首先,如果c不是最大边长,不妨设a>c,则
a/(a+1)+b/(b+1)>a/(a+1)>c/(c+1)
如果c为最大边长,则
a<c,b<c,且a+b>c
a/(a+1)>a/(c+1)
b/(b+1)>b/(c+1)
所以
a/(a+1)+b/(b+1)>(a+b)/(c+1)>c/(c+1)

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追问
可以用高一知识解答吗?
追答
这个初中知识就解决了,不需要任何高中知识的。
慕野清流
2011-11-12 · TA获得超过3.6万个赞
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证明:
由题可知a,b,c>0,且b+c>a
∴c<b+c+2bc+abc
a-abc+1-bc<1+b+c+bc
(a+1)(1-bc)<1+b+c+bc
(1-bc)/(1+b+c+bc)<1/(a+1)
(bc-1)/(1+b+c+bc)>-1/(a+1) (两边同加1)
(b+c+2bc)/(1+b+c+bc)>a/(1+a)
而左边=[b(1+c)+c(1+b)]/[(b+1)(c+1)]=b/(1+c)+c/(1+b)
∴有b/(1+c)+c/(1+b)>a/(1+a)
即a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)
追问
= =是求证a/(a+1)+b/(b+1)>c/(c+1),而不是a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c) 啊
追答
a,b,c是等价的
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