Question

奥数问题。三角形

已知三角形的一条边为8 这条边跟另外一条形成一个60度的角。 求其他的两条边有几种可能。 必须是整数而且小于10

求详解 谢谢！

Answer 1

其他两角和为120度。则可以先分为2中情况：一种其他两角相等，另一种为其他两角不相等。
情况（一）：其他两边都为8（等边三角形）
情况（二）：两角大小不等，再分为两种情况
（1）：小角（小于60度）对边长为8的那条边，则60度角所对的边肯定大于8，而另一个角（大于60度）所对的边最大（大角对长边）。根据题意，该情况只能是8，9，10，显然不满足边长为9所对的角为60度，该情况不成立。
（2）：大角（大于60度）对边长为8的那条边，则60度角所对的边肯定小于8，而另一个角（小于60度）所对的边最小（大角对长边）。根据题意，cos60=(8^2+a^2-b^2)/(2×8×a)=1/2 即(a-4)^2+48=b^2>48 （b>a，a+b>8（三角形另外两边和大于第三边）），则可以看出b只能大于等于7，但是b为60度所对的角只能小于8，所以b=7，则该情况只能为：8,7,5；8,7,3
所以共3中情况分别为：8,8,8；8,7,5；8,7,3

Answer 2

用余弦定理做，设60度角的对边为c，临边为a=8，b。
(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=cos60=1/2,将a=8代入并化简，c^2=b^2-8b+64=(b-4)^2+48,接下来就是挨个试试了，b从1开始试到10，使得右式为完全平方数。
b=3,5,8都可以，对应的c=7,7,8.

Answer 3

有三种可能，但具体数字不会算