Question

关于三角形的几何题

在三角形ABC中，∠FBC=∠ECB=1/2∠A，试说明BE=CF
我画的可能不标准，三角形BCF的三角形BCE是不等的

Answer 1

这是2007年北京市数学中考最后一道题，用轴对称解（翟刚出的题全是轴对称……）
我的方法可能与标答不一样，但是思想肯定相同，那就是利用轴对称改变元素的位置。
以BC为轴，做三角形FBC的对称图形MBC。所以角GBC=角MBC=角GCB，所以EC与MB平行。
然后，易推知角M=角BFC=角A+角ABF，同时角FBM=2*角GBC+角ABF=角A+角ABF,所以角M=角EBM，所以EBMC是等腰梯形，所以CF=CM=BE。
当已知中/求证中有像这样难以寻找联系的相等线段（可称之为错位等线段）时，我们通常需要采取图形变换，即平移、旋转、轴对称，将分散的元素间建立起来联系。

Answer 2

延长CD到M，使DM=DF，连接BM，
DB=DC，
△BDM和△CDF全等，
∠BMD=∠BFC，BM=CF，
∠MDF=∠BDC=180°-∠A，
∠MDF+∠A=180°，
∠BFA+∠AEC=180°，
∠AFB+∠BFC=180°，
∠BFC=∠AEC=∠MEB=∠BMD，
BM=BE，
BE=CF

Answer 3

延长CD到M，使DM=DF，连接BM，
DB=DC，
三角形BDM和CDF全等，
角BMD=角BFC，BM=CF，
角MDF=角BDC=180度-角A，
角MDF+角A=180度，
角BFA+角AEC=180度，
角AFB+角BFC=180度，
角BFC=角AEC=角MEB=角BMD，
BM=BE，
BE=CF

Answer 4

因为，∠FBC=∠ECB=1/2∠A，所以∠BFC=∠BEC，又因BC=BC,所以三角形BFC与三角形BEC全等，命题得证