Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（-4，3），B（2，0）两点，当x＝3和x＝-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（-4，3），B（2，0）两点，当x＝3和x＝-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等。经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点。设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积。（图略）

Answer 1

（1）AB斜率：（3-0）/（-4-2）=-1/2
∴直线AB：y-0=（-1/2）*（x-2）
∴y=（-1/2）x +1
∵已知抛物线y＝ax^2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．
∴对称轴为y轴 ∴b=0
把b=0，A（－4，3）、B（2，0）两点代入
得a=1/4 c=-1
∴抛物线的解析式：y=（1/4）x^2 -1

（2）∵A（－4，3）、O为坐标原点 ∴AO=r=5
∵经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行 ∴直线l ：y=-2
∴A点到直线l 的距离 d=|-1×3-2|/√（0²+1）=5
∴直线l 与⊙A相切

（3） ∵设直线AB上的点D的横坐标为－1 ∴D坐标（-1,3/2）
由2，猜想抛物线任何一点到O的距离和到y=-2的距离相等；因为n=1/4m²-1≥-1，所以PO²=m²+n²=4（n+1）+n²=（n+2）²，得到PO=n+2；P到l的距离d=n+2=PO，得证。DO=根号（1+9/4）为定值，故当PO+PD为最小值时，△PDO周长为最小值，由几何关系及猜想得到PO+PD的最小值为D到l的距离即3/2+2=7/4，此时P为D作l的垂线与抛物线的交点，
故P（-1，-3/4）
∵D(-1,3/2), P(-1,-3/4) C(0,-2) O(0,0) ∴DP=9/4 ,OC=2, DP到OC的距离h=1
∴S CDOP=S△DOP +S△POC =1/2 ×DP *h + 1/2*OC *h=1/2 *9/4 *1 +1/2 *2 *1=17/8

Answer 2

xcx