Question

如图，已知点D为等腰直角三界ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，连结AD并延长AD交BC于点E。

猜测∠BDE与∠CDE之间的关系，并说明理由。

Answer 1

在三角形BCD与三角形ACD中
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°
从而 ∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
又 BC=AC,CD是公共边
∴三角形BCD≌三角形ACD(边，边，边)
得到 ∠BDC=∠ADC
又 ∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-30°=120°
从而 ∠BDC=∠ADC=1/2(360°-∠BDA)=1/2(360°-120°)=120°
又 ∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°①
得到 ∠CDE=∠BDC-∠BDE=120°-60°=60°②
由①②得 ∠BDE=∠CDE

追问

某超市在国庆节期间举行促销优惠活动，具体方案为：
方案一：用168元购买会员卡后，凭会员卡购物，一律按商品价格的8折优惠
方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的9.5折优惠
小亮在国庆期间到此超市购物，试问：小亮所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

要过程！！！！再帮我一下吧。。谢啦

Answer 2

相等，证明：在三角形BCD与三角形ACD中
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°
∴∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
又 BC=AC,CD是公共边
∴三角形BCD≌三角形ACD(边，边，边)
∴∠BDC=∠ADC
又 ∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-30°=120°
从而 ∠BDC=∠ADC=1/2(360°-∠BDA)=1/2(360°-120°)=120°
又 ∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°①
得到 ∠CDE=∠BDC-∠BDE=120°-60°=60°②
由①②得 ∠BDE=∠CDE

Answer 3

分析：（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．

（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明△ADC≌△EMC即可．

解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，

∴BD=AD，

∴D在AB的垂直平分线上，

∵AC=BC，

∴C也在AB的垂直平分线上，

即直线CD是AB的垂直平分线，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=15°+45°=60°，

∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；

∴∠CDE=∠BDE，

即DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，

∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，

∴∠EMC=∠ADC．

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM．

在△ADC与△EMC中，

   ∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC     

，

∴△ADC≌△EMC（AAS），

∴ME=AD=BD．