Question

设S为实数集R的非空子集，若对任意x,y属于S，都有x+y,x-y,xy属于S，则称S为封闭集，

，下列命题：1.集合S={a+b√¯..a,b为整数}为封闭集 2.若S为封闭集，则一定有0属于S 3.封闭集一定是无限集 4.若S为封闭集，则满足S T C的任意集合T也是封闭集。
其中真命题是____
根号下是3 S包含于T包含于C

Answer 1

证明：任取x,y∈S，设x=a+b√3，y=c+d√3。

x+y=(a-c)+(b-d)√3，由于a，b，c，d均为整数，则a-c，d-b也是整数，因此x-y∈S

因此S封闭。

2、正确

证明：由于S封闭，任取x∈S，有x-x∈S，即0∈S。

3、错误

反例：S={0}，按定义验证是封闭的，但是有限集合。

4、错误

反例：S=｛a+b被的根号3|a,b为整数｝，由1的证明知S是封闭集。设T=S∪{√2}，则S包含于T包含于R，但是T并不封闭。

序公理

1、∀x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一个成立；

2、若x<y，∀z∈R，x+z<y+z；

3、若x<y，z>0，则x·z<y·z；

4、传递性：若x<y，y<z，则x<z。

乘法定理

1、对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；

2、乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；

3、乘法有交换律，a·b=b·a；

4、乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；

5、乘法对加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

完备公理

1、任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

2、设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x<y，那么必存在c属于R，使得对任何x属于A，y属于B，都有x<c<y。符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集，实数集的元素称为实数。

Answer 2

1、正确
证明：任取x,y∈S，设x=a+b√3，y=c+d√3
则x+y=(a+c)+(b+d)√3，由于a，b，c，d均为整数，则a+c，d+b也是整数，因此x+y∈S
x+y=(a-c)+(b-d)√3，由于a，b，c，d均为整数，则a-c，d-b也是整数，因此x-y∈S
xy=ac+3bd+(ad+bc)√3，由于a，b，c，d均为整数，则ac+3bd，ad+bc也是整数，因此xy∈S
因此S封闭。

2、正确
证明：由于S封闭，任取x∈S，有x-x∈S，即0∈S。

3、错误
反例：S={0}，按定义验证是封闭的，但是有限集合。

4、错误
反例：S=｛a+b被的根号3|a,b为整数｝，由1的证明知S是封闭集，
设T=S∪{√2}，则S包含于T包含于R，但是T并不封闭。比如：√2∈T，√3∈T，但√2+√3不属于T。

Answer 3

1.2正确，3.4错误

Answer 4

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